题目内容

已知函数为自然对数的底数）．
（1）求曲线在处的切线方程；
（2）若是的一个极值点，且点，满足条件：.
（ⅰ）求的值；
（ⅱ）求证：点，，是三个不同的点，且构成直角三角形．

（1）；（2）（ⅰ）；（ⅱ）参考解析

解析试题分析：（1）由函数，求函数的导数，并计算即所求切线方程的斜率，又过点.即可求出结论.
（2）（ⅰ）由（1）得到的函数的导数，即可求出函数的单调区间，从而得到函数的极值点，即得到的值.
（ⅱ）需求证：点，，是三个不同的点，通过分类每两个点重合，利用已知条件即方程的根的个数来判定即可得到三点是不同点的点.通过向量的数量积可得到三点可构成直角三角形.
（1），                                    2分
，又，                                  4分
所以曲线在处的切线方程为，
即．                                               5分
（2）（ⅰ）对于，定义域为．
当时，，，∴；
当时，；
当时，，，∴，                 8分
所以存在唯一的极值点，∴，则点为．                9分
（ⅱ）若，则，，
与条件不符，从而得．
同理可得．                                      10分
若，由，此方程无实数解，
从而得．                                       11分
由上可得点，，两两不重合．
又


从而

练习册系列答案
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已知函数函数在处取得极值1.
（1）求实数b，c的值；
（2）求在区间[-2，2]上的最大值．

已知函数，
（1）若函数在上是减函数，求实数的取值范围；
（2）是否存在实数，当（是自然常数）时，函数的最小值是3，若存在，求出的值；若不存在，说明理由；
（3）当时，证明：.

设函数.
（1）若曲线在点处与直线相切，求a，b的值；
（2）求函数的单调区间．

已知函数．若曲线在点处的切线与直线垂直，
（1）求实数的值；
（2）求函数的单调区间；

若函数y＝f(x)在x＝x0处取得极大值或极小值，则称x0为函数y＝f(x)的极值点．已知a，b是实数，1和－1是函数f(x)＝x3＋ax2＋bx的两个极值点．
(1)求a和b的值；
(2)设函数g(x)的导函数g′(x)＝f(x)＋2，求g(x)的极值点．

（2013•天津）已知函数f（x）=x2lnx．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）证明：对任意的t＞0，存在唯一的s，使t=f（s）．
（3）设（2）中所确定的s关于t的函数为s=g（t），证明：当t＞e2时，有．

已知函数．
（1）试求函数的递减区间；
（2）试求函数在区间上的最值．

某风景区在一个直径AB为100米的半圆形花园中设计一条观光线路（如图所示）．在点A与圆
弧上的一点C之间设计为直线段小路，在路的两侧边缘种植绿化带；从点C到点B设计为沿弧的弧形小路，在路的一侧边缘种植绿化带．（注：小路及绿化带的宽度忽略不计）
（1）设（弧度），将绿化带总长度表示为的函数；
（2）试确定的值，使得绿化带总长度最大．

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