Question

【题目】已知函数f(x)＝4x－2·2x＋1－6，其中x∈[0,3]．

(1)求函数f(x)的最大值和最小值；

(2)若实数a满足f(x)－a≥0恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）f(x)min＝－10，f(x)max＝26；（2）(－∞，－10].

【解析】试题分析：（1）由题意可得，f(x)＝4x－2·2x＋1－6，令t=2x，从而可转化为二次函数在区间[1，8]上的最值的求解
（2）由题意可得，a≤f（x）恒成立a≤f（x）min恒成立，结合（1）可求

试题解析：

(1)f(x)＝(2x)2－4·2x－6(0≤x≤3)．

令t＝2x，∵0≤x≤3，∴1≤t≤8.

则h(t)＝t2－4t－6＝(t－2)2－10(1≤t≤8)．

当t∈[1,2]时，h(t)是减函数；当t∈(2,8]时，h(t)是增函数．

∴f(x)min＝h(2)＝－10，f(x)max＝h(8)＝26.

(2)∵f(x)－a≥0恒成立，即a≤f(x)恒成立，

∴a≤f(x)min恒成立．

由(1)知f(x)min＝－10，∴a≤－10.

故a的取值范围为(－∞，－10]．