Question

已知数列{a_n}的前三项分别为a₁＝5，a₂＝6，a₃＝8，且数列{a_n}的前n项和S_n满足S_n＋m＝(S_2n＋S_2m)－(n－m)²，其中m，n为任意正整数．
(1)求数列{a_n}的通项公式及前n项和S_n；
(2)求满足－a_n＋33＝k²的所有正整数k，n.

Answer 1

（1）S_n＝n²＋3n＋1，n∈N^*（2）n＝10，k＝131.

(1)在等式S_m＋n＝(S_2n＋S_2m)－(n－m)²中，分别令m＝1，m＝2，得
S_n＋1＝(S_2n＋S₂)－(n－1)²，①
S_n＋2＝ (S_2n＋S₄)－(n－2)²，②
②－①，得a_n＋2＝2n－3＋.(3分)
在等式S_n＋m＝(S_2n＋S_2m)－(n－m²)中，令n＝1，m＝2，得S₃＝(S₂＋S₄)－1，由题设知，S₂＝11，S₃＝19，故S₄＝29.
所以a_n＋2＝2n＋6(n∈N^*)，即a_n＝2n＋2(n≥3，n∈N^*)．
又a₂＝6也适合上式，故a_n＝ (5分)
S_n＝即S_n＝n²＋3n＋1，n∈N^*.(6分)
(2)记－a_n＋33＝k²(*)．
n＝1时，无正整数k满足等式(*)．
n≥2时，等式(*)即为(n²＋3n＋1)²－3(n－10)＝k².(8分)
①当n＝10时，k＝131.(9分)
②当n＞10时，则k＜n²＋3n＋1，
又k²－(n²＋3n)²＝2n²＋3n＋31＞0，所以k＞n²＋3n.
从而n²＋3n＜k＜n²＋3n＋1.
又因为n，k∈N^*，所以k不存在，从而无正整数k满足等式(*)．(12分)
③当n＜10时，则k＞n²＋3n＋1，因为k∈N^*，所以k≥n²＋3n＋2.
从而(n²＋3n＋1)²－3(n－10)≥(n²＋3n＋2)².
即2n²＋9n－27≤0.因为n∈N^*，所以n＝1或2.(14分)
n＝1时，k²＝52，无正整数解；
n＝2时，k²＝145，无正整数解．
综上所述，满足等式(*)的n，k分别为n＝10，k＝131.(16分)