Question

设{a_n}是公比不为1的等比数列，其前n项和为S_n，且a₅，a₃，a₄成等差数列．
(1)求数列{a_n}的公比；
(2)证明：对任意k∈N^*，S_k＋2，S_k，S_k＋1成等差数列．

Answer 1

（1）q＝－2（2）见解析

(1)设数列{a_n}的公比为q(q≠0，q≠1)，
由a₅，a₃，a₄成等差数列，得2a₃＝a₅＋a₄，
即2a₁q²＝a₁q⁴＋a₁q³，
由a₁≠0，q≠0得q²＋q－2＝0，解得q＝－2或1(舍去)，所以q＝－2.
(2)法一　对任意k∈N^*，
S_k＋2＋S_k＋1－2S_k＝(S_k＋2－S_k)＋(S_k＋1－S_k)
＝a_k＋1＋a_k＋2＋a_k＋1
＝2a_k＋1＋a_k＋1·(－2)＝0，
所以，对任意k∈N^*，S_k＋2，S_k，S_k＋1成等差数列．
法二：对任意k∈N^*,2S_k＝，
S_k＋2＋S_k＋1＝＋＝，
2S_k－(S_k＋2＋S_k＋1)＝－
＝ [2(1－q^k)－(2－q^k＋2－q^k＋1)]＝ (q²＋q－2)＝0，
因此，对任意k∈N^*，S_k＋2，S_k，S_k＋1成等差数列．