Question

11．在△ABC中，A=30°，BC=2$\sqrt{5}$，点D在AB边上，且∠BCD为锐角，CD=2，△BCD的面积为4．
（Ⅰ）求cos∠BCD的值；
（Ⅱ）求边AC的长．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用三角形面积公式表示出三角形BCD面积，把BC，CD以及已知面积代入求出sin∠BCD的值，即可确定出cos∠BCD的值；
（Ⅱ）利用余弦定理列出关系式，把CD，BC，以及cos∠BCD的值代入求出DB的值，利用勾股定理的逆定理确定出三角形ACD为直角三角形，利用含30度直角三角形的性质求出AC的长即可．

解答 解：（Ⅰ）∵BC=2$\sqrt{5}$，CD=2，S_△BCD=$\frac{1}{2}$BC•CD•sin∠BCD=4，
∴sin∠BCD=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．
∵∠BCD为锐角，
∴cos∠BCD=$\sqrt{1-（\frac{2\sqrt{5}}{5}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$；
（Ⅱ）在△BCD中，CD=2，BC=2$\sqrt{5}$，cos∠BCD=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
由余弦定理得：DB²=CD²+BC²-2CD•BC•cos∠BCD=4+20-8=16，即DB=4，
∵DB²+CD²=BC²，
∴∠CDB=90°，即△ACD为直角三角形，
∵A=30°，
∴AC=2CD=4．

点评 此题考查了正弦、余弦定理，三角形面积公式，以及勾股定理的逆定理，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．