题目内容
【题目】设椭圆的离心率为
,且经过点
.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)设直线与椭圆
交
两点,
是坐标原点,分别过点
作
,
的平行线,两平行线的交点刚好在椭圆
上,判断
是否为定值?若为定值,求出该定值;若不是,请说明理由.
【答案】(1);(2)是,6.
【解析】
(1)设椭圆的半焦距为
,运用椭圆的离心率公式,结合点
在椭圆上,以及
,求出
,
,
,写出椭圆方程即可;
(2)通过化简得,将问题转化为求证
是定值,然后分直线
的斜率不存在与不存在两种情况进行讨论:①斜率不存在时,利用椭圆的对称性求出
,
坐标,计算
;②斜率存在时,设直线
的方程为
,联立椭圆方程消去
,利用韦达定理表示出
与
,求出点
坐标,代入椭圆方程化简得
,计算
与点
到直线
的距离
,即可得到
,综合两种情况即可得到结论.
(1)设椭圆的半焦距为
,
椭圆
的离心率为
,
.①
又椭圆经过点
,
.②
结合,③
由①②③,解得.
故椭圆的标准方程是
.
(2)
.
①当直线的斜率不存在时,不妨设
,
,
根据对称性知两平行线的交点在轴上,
又交点刚好在椭圆
上,
交点为长轴端点,则满足条件的直线的方程是
.
此时点,
或
,
,
,
故;
②当直线的斜率存在时,
设直线的方程为
,
,
.
联立方程,
消去得
,
则,
,
,
,
不妨设两平行线的交点为点,则
,
故点的坐标为
,
点
刚好在椭圆
上,
,
即
此时,
则
,
设点到直线
的距离为
,则
.
.
故.
综上,为定值6.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
练习册系列答案
相关题目