Question

已知F₁，F₂分别为双曲

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，P为双曲线左支上任一点，若

|PF2|2

|PF1|

的最小值为8a，则双曲线的离心率e的取值范围是（　　）

• A、（1，+∞）
• B、（0，3]
• C、（1，3]
• D、（0，2]

Answer 1

分析：由定义知：|PF₂|-|PF₁|=2a，|PF₂|=2a+|PF₁|，

|PF2|2

|PF1|

=

(2a+|PF1|)2

|PF1|

=

4a2

|PF1|

+4a+|PF1| ≥8a，当且仅当

4a2

|PF1|

=|PF1|，即|PF₁|=2a时取得等号．再由焦半径公式得双曲线的离心率的取值范围．

解答：解：由定义知：|PF₂|-|PF₁|=2a，
|PF₂|=2a+|PF₁|，

|PF2|2

|PF1|

=

(2a+|PF1|)2

|PF1|

=

4a2

|PF1|

+4a+|PF1| ≥8a，
当且仅当

4a2

|PF1|

=|PF1|，
即|PF₁|=2a时取得等号
设P（x₀，y₀） （x₀≤-a）
由焦半径公式得：
|PF₁|=-ex₀-a=2a
ex₀=-2a
e=-

3a

x0

≤3
又双曲线的离心率e＞1
∴e∈（1，3]．
故选C．

点评：本题考查双曲线的性质和应用，解题时要认真审题，注意焦半径公式的合理运用．