Question

8．已知函数y=2sinxcosx-sinx+cosx（0≤x≤π）．
（1）令t=sinx-cosx，用t表示y；
（2）已知t=$\sqrt{2}$sin（x-$\frac{π}{4}$），求t的取值范围，并分别求出y的最大值，最小值．

Answer 1

分析 （1）运用两角差的正弦公式，结合x的范围，可得t的范围，再由平方可得2sinxcosx，即可得到y的解析式；
（2）由x的范围，可得t的范围，再由配方法，结合二次函数的最值的求法，可得最值．

解答 解：（1）令t=sinx-cosx=$\sqrt{2}$sin（x-$\frac{π}{4}$），
由0≤x≤π可得-$\frac{π}{4}$≤x-$\frac{π}{4}$≤$\frac{3π}{4}$，
即有-$\frac{\sqrt{2}}{2}$≤sin（x-$\frac{π}{4}$）≤1．
则-1≤t≤$\sqrt{2}$．
由t²=sin²x+cos²x-2sinxcosx=1-2sinxcosx，
可得2sinxcosx=1-t²，
则有y=1-t²-t（-1≤t≤$\sqrt{2}$）；
（2）t=$\sqrt{2}$sin（x-$\frac{π}{4}$），
由0≤x≤π可得-$\frac{π}{4}$≤x-$\frac{π}{4}$≤$\frac{3π}{4}$，
即有-$\frac{\sqrt{2}}{2}$≤sin（x-$\frac{π}{4}$）≤1．
则-1≤t≤$\sqrt{2}$．
由y=1-t²-t=-（t+$\frac{1}{2}$）²+$\frac{5}{4}$，
当t=-$\frac{1}{2}$时，y取得最大值，且为$\frac{5}{4}$，
当t=-1时，y=1；当t=$\sqrt{2}$时，y=-1-$\sqrt{2}$，
即有y的最小值为-1-$\sqrt{2}$．

点评 本题考查三角函数的最值的求法，考查同角的平方公式和二倍角公式及两角差的正弦公式的运用，考查运算能力，属于中档题．