题目内容
【题目】如图，正三棱柱
中，
、点
为
中点，点
为四边形
内（包含边界）的动点则以下结论正确的是（ ）
A.
B.若
平面
，则动点的轨迹的长度等于
C.异面直线
与
，所成角的余弦值为
D.若点到平面
的距离等于
，则动点的轨迹为抛物线的一部分
【答案】BCD
【解析】
根据空间向量的加减法运算以及通过建立空间直角坐标系求解，逐项判断，进而可得到本题答案.
解析：对于选项A，
，选项A错误；
对于选项B，过点
作
的平行线交
于点
．
以为坐标原点，
分别为
轴的正方向建立空间直角坐标系
．
设棱柱底面边长为
，侧棱长为
，则
，
，
，
，所以
，
．
∵
，∴
，
即
，解得
．
因为
平面
，则动点
的轨迹的长度等于
．选项B正确．
对于选项C，在选项A的基础上，，，
，
，所以
，
，
因为
，所以异面直线
所成角的余弦值为
，选项C正确．
对于选项D，设点E在底面ABC的射影为
，作
垂直于
，垂足为F，若点E到平面
的距离等于
，即有
，又因为在
中，
，得
，其中
等于点E到直线
的距离，故点E满足抛物线的定义，另外点E为四边形
内（包含边界）的动点，所以动点E的轨迹为抛物线的一部分,故D正确.
故选：BCD
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