题目内容
【题目】如图,正三棱柱中,
、点
为
中点,点
为四边形
内(包含边界)的动点则以下结论正确的是( )
A.
B.若平面
,则动点
的轨迹的长度等于
C.异面直线与
,所成角的余弦值为
D.若点到平面
的距离等于
,则动点
的轨迹为抛物线的一部分
【答案】BCD
【解析】
根据空间向量的加减法运算以及通过建立空间直角坐标系求解,逐项判断,进而可得到本题答案.
解析:对于选项A,,选项A错误;
对于选项B,过点作
的平行线交
于点
.
以为坐标原点,
分别为
轴的正方向建立空间直角坐标系
.
设棱柱底面边长为,侧棱长为
,则
,
,
,
,所以
,
.
∵,∴
,
即,解得
.
因为平面
,则动点
的轨迹的长度等于
.选项B正确.
对于选项C,在选项A的基础上,,
,
,
,所以
,
,
因为,所以异面直线
所成角的余弦值为
,选项C正确.
对于选项D,设点E在底面ABC的射影为,作
垂直于
,垂足为F,若点E到平面
的距离等于
,即有
,又因为在
中,
,得
,其中
等于点E到直线
的距离,故点E满足抛物线的定义,另外点E为四边形
内(包含边界)的动点,所以动点E的轨迹为抛物线的一部分,故D正确.
故选:BCD
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