Question

【题目】双曲线与椭圆有相同的焦点，直线为双曲线的一条渐近线.

（1）求双曲线的方程；

（2）过点的直线交双曲线于、两点，交轴于点（点与的顶点不重合），当，且，求点的坐标.

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）根据双曲线的焦点、渐近线方程、结合列方程组，解方程组求得的值，进而求得双曲线方程.

（2）设出直线的方程和两点的坐标，求得点坐标，利用和，结合向量共线的坐标运算，求得①，通过联立直线方程和双曲线方程，写出韦达定理并代入①，由此求得直线的斜率，进而求得点坐标.

（1）依题意可知：椭圆焦点坐标为，故双曲线的半焦距为.由于双曲线的渐近线为，故，结合可解得.故双曲线方程为.

（2）由题意知直线的斜率存在且不等于零，设直线的方程为，，则，因为，所以，所以，同理，所以，即①，又以及，消去得.当时，直线与双曲线的渐近线平行，不合题意，所以.由韦达定理有，代入①得，，所以所求点的坐标为.