题目内容

若△ABC的三个内角满足sinA:sinB:sinC=5:11:13,则△ABC
 

(A)一定是锐角三角形         (B)一定是直角三角形
(C)一定是钝角三角形         (D)可能是锐角三角形,也可能是钝角三角形.
分析:根据正弦定理化简已知的等式得到a,b及c的比值,根据比例设出a,b及c,然后利用余弦定理表示出cosC,把表示出的a,b及c代入求出cosC的值,发现cosC小于0,根据C的范围得到角C为钝角,即三角形为钝角三角形.
解答:解:由正弦定理
a
sinA
=
b
sinB
=
c
sinC

得到sinA:sinB:sinC=a:b:c=5:11:13,
设a=5k,b=11k,c=13k,
根据余弦定理得cosC=
a2+b2-c2
2ab
=
25k2+121k2-169k2
110k
=-
23
110
<0,
∵C∈(0,π),∴C为钝角,
则△ABC一定为钝角三角形.
故选C.
点评:此题考查了三角形形状的判断,要求学生灵活运用正弦定理及余弦定理化简求值,遇到比例往往根据比例设出各边来解决问题.
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