Question

已知数列{a_n}满足．
（1）若方程f（x）=x的解称为函数y=f（x）的不动点，求a_n+1=f（a_n）的不动点的值；
（2）若a₁=2，，求数列{b_n}的通项．
（3）当n≥3时，求证：．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用不动点的定义，根据方程a_n+1=f（a_n）得，由此可得结论；
（2）由数列递推式，写出两式，两式相除，可得，由此可得数列{b_n}的通项；
（3）先证明b_n=＜（n≥3），再利用等比数列的求和公式，即可得到结论．
解答：（1）解：由方程a_n+1=f（a_n）得，解得a_n=0或a_n=-1或a_n=1．…（2分）
（2）解：=，=
两式相除得=，即…（5分）
由a₁=2可以得到b_n＞0，则lnb_n+1=3lnb_n
又得lnb₁=-ln3，
∴=ln
∴b_n=．…（8分）
（3）证明：当n≥3时，3^n-1=（1+2）^n-1≥+2+…+＞2n
∴b_n=＜（n≥3）…（11分）
当n≥3时，b₁+b₂+b₃+…+b_n＜+…+=+＜=…（14分）
点评：本题考查数列递推式，考查数列的通项，考查不等式的证明，考查学生分析解决问题的能力，考查放缩法的运用，属于中档题．