Question

如图，在四棱锥p-ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AB∥CD，∠BAD=90°，PA⊥平面ABCD，AB=1，AD=2，PA=CD=4．
（Ⅰ）求证：BD⊥PC；
（Ⅱ）求二面角B-PC-A的余弦值．

Answer 1

分析：（1）以A为原点，建立如图所示空间直角坐标系，求出

PC

与

BD

的坐标，利用它们的数量积为零证得BD⊥OC；
（2）易证

BD

为面PAC的法向量，求出面PBC的法向量

n

，然后求出两法向量的夹角，利用两平面的法向量的夹角与二面角的平面角相等或互补，即可求得二面角B-PC-A的余弦值．

解答：证明：（Ⅰ）以A为原点，建立如图所示空间直角坐标系，
则B（0，1，0），C（-2，4，0），D（-2，0，0），P（0，0，4），
∴

PC

=(-2，4，-4)，

BD

=(-2，-1，0)，
∴

PC

•

BD

=0
所以PC⊥BD．
（Ⅱ）易证

BD

为面PAC的法向量，
设面PBC的法向量n=（a，b，c），

PB

=(0，1，-4)，

BC

=(-2，3，0)
所以

n • PB =0 n • BC =0

?

b=4c a=6c

所以面PBC的法向量n=（6，4，1），
∴cosθ=-

16

265

．
因为面PAC和面PBC所成的角为锐角，
所以二面角B-PC-A的余弦值为

16

265

．

点评：本题主要考查了平面与平面之间的位置关系，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题．