题目内容

如图所示,在直径为BC的半圆中,A是弧BC上一点,正方形PQRS内接于△ABC,若BC=a,∠ABC=θ,设△ABC的面积为Sl,正方形PQRS的面积为S2.

(1)用a,θ表示S1和S2
(2)当a固定,θ变化时,求取得最小值时θ的值.

(1);(2).

解析试题分析:本题主要以圆为几何背景考查三角函数的定义、三角函数的面积公式、函数的单调性及最值等数学知识,考查学生的分析问题的能力、转化能力和计算能力.第一问,在中,求出,利用的面积,在中求出,在中求出,而,求出x的值,再求正方形PQRS的面积;第二问,先将第一问的结论代入中化简表达式,用换元法,简化表达式,利用函数的单调性求的最小值.
试题解析:(1)因为AB=acosθ,

设正方形边长为x,,RC=xtanθ,
,解之得
所以(6分)
(2)当a固定,θ变化时
设sin2θ=t,则
,∴0<t≤1,
易证f(t)在(0,1]上是减函数.
故当t=1时,取最小值,此时(12分)
考点:1.三角函数的定义;2.三角形面积公式;3.函数的单调性.

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