题目内容
【题目】某医院为筛查某种疾病，需要检验血液是否为阳性，现有
份血液样本，有以下两种检验方式：①逐份检验，列需要检验
次；②混合检验，将其
（
且
）份血液样本分别取样混合在一起检验.若检验结果为阴性，这份的血液全为阴性，因而这份血液样本只要检验一次就够了，如果检验结果为阳性，为了明确这份血液究竟哪几份为阳性，就要对这份再逐份检验，此时这份血液的检验次数总共为
次.假设在接受检验的血液样本中，每份样本的检验结果是阳性还是阴性都是独立的，且每份样本是阳性结果的概率为
.
（1）假设有5份血液样本，其中只有2份样本为阳性，若采用逐份检验的方式，求恰好经过3次检验就能把阳性样本全部检验出来的概率.
（2）现取其中（且）份血液样本，记采用逐份检验方式，样本需要检验的总次数为
，采用混合检验方式，样本需要检验的总次数为
.
（i）运用概率统计的知识，若
，试求
关于的函数关系式
；
（ii）若
，且采用混合检验方式可以使得样本需要检验的总次数的期望值比逐份检验的总次数期望值更少，求的最大值.
参考数据：
，
，
.
【答案】（1）
；（2）（i）
（
且
）；（ii）
的最大值为8
【解析】
（1）结合题意，由排列组合知识及概率公式即可得解；
（2）先由已知条件求得
关于的函数关系式
，再利用导数研究函数的单调性，再结合函数性质即可得解.
（1）记恰好经过3次检验就能把阳性样本全部检验出来为
事件，
则
.
（2）（i）
，
的取值为1，
，
，
，
所以
，
由
，得
，所以（且）.
（ii）
，
，所以
，即
.
设
，
，
，
当
时，
，
在
上单调递增；
当
时，
，在
上单调递减.
，
，
所以的最大值为8.
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