Question

已知集合A={x|

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＜2x＜4}，B={x|x＜a}，C={x|m-1＜x＜2m+1}，
（1）求集合A，并求当A⊆B时，实数a的取值范围；
（2）若A∪C=A，求实数m的取值范围；
（3）求函数y=4^x-2^x+1-1在x∈A时的值域．

Answer 1

分析：（1）由指数函数的单调性易求集合A，利用数轴不难求得a的范围；
（2）由A∪C=A可知C⊆A，借助数轴可得不等式组，解出即可；
（3）y=4^x-2^x+1-1=（2^x）²-2•2^x-1，令t=2^x，则函数可转化为关于t的二次函数，由x∈A可得t的范围，在t的范围内利用二次函数性质即可求得其最小值、最大值，从而得到值域；

解答：解：（1）集合A={x|

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＜2x＜4}=（-1，2）
∵B={x|x＜a}，∴当A⊆B时，a≥2；
（2）∵A∪C=A，∴C⊆A，
又C={x|m-1＜x＜2m+1}，
所以有

m-1≥-1 2m+1≤2

，解得0≤m≤

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，
所以实数m的取值范围为：0≤m≤

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；
（3）y=4^x-2^x+1-1=（2^x）²-2•2^x-1，
令t=2^x，∵x∈A=（-1，2），∴t∈（

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，4），
则y=t²-2t-1=（t-1）²-2，
所以y=（t-1）²-2在（

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，1）上递减，在（1，4）上递增，
所以当t=1时y_min=-2，当t=4时y_max=7，又t＜4，所以y＜7，
函数y=4^x-2^x+1-1在x∈A时的值域为[-2，7）．

点评：本题考查集合关系中参数的求解及复合函数的单调性，考查二次函数的性质，考查转化思想，属中档题．