题目内容
(本小题满分12分)
在平面直角坐标系中,点到两定点F1和F2的距离之和为,设点的轨迹是曲线.(1)求曲线的方程; (2)若直线与曲线相交于不同两点、(、不是曲线和坐标轴的交点),以为直径的圆过点,试判断直线是否经过一定点,若是,求出定点坐标;若不是,说明理由.
在平面直角坐标系中,点到两定点F1和F2的距离之和为,设点的轨迹是曲线.(1)求曲线的方程; (2)若直线与曲线相交于不同两点、(、不是曲线和坐标轴的交点),以为直径的圆过点,试判断直线是否经过一定点,若是,求出定点坐标;若不是,说明理由.
(1) ;(2)直线过定点,定点坐标为.
试题分析:(1)设,由椭圆定义可知,
点的轨迹是以和为焦点,长半轴长为2的椭圆.
它的短半轴长,故曲线的方程为:
(2)设.
联立 消去y,整理得,
则
又.
因为以为直径的圆过点,,即.
.
.
.
解得:,且均满足.
当时,的方程,直线过点,与已知矛盾;
当时,的方程为,直线过定点.
所以,直线过定点,定点坐标为.
点评:典型题,关于椭圆的考查,往往以这种“连环题”的形式出现,首先求标准方程,往往不难。而涉及在直线与椭圆的位置关系,往往要利用韦达定理,实现“整体代换”。
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