题目内容
1.已知数列{an},{bn}满足a1=$\frac{1}{4}$,an+bn=1,bn+1=$\frac{b_n}{{1-{a_n}^2}}$.(1)求b1,b2,b3,b4;
(2)求证:数列$\left\{{\frac{1}{{{b_n}-1}}}\right\}$是等差数列,并求出数列{bn}通项公式;
(3)设Sn=a1a2+a2a3+a3a4+…+anan+1,求证:Sn<$\frac{1}{4}$.
分析 (1)通过an+bn=1变形可得bn+1=$\frac{1}{2-{b}_{n}}$,代入计算即可;
(2)通过bn+1=$\frac{1}{2-{b}_{n}}$,变形可得$\frac{1}{{b}_{n+1}-1}$-$\frac{1}{{b}_{n}-1}$=-1,进而可得结论;
(3)通过bn=$\frac{n+2}{n+3}$可得anan+1=$\frac{1}{n+3}$-$\frac{1}{n+4}$,并项相加即可.
解答 (1)解:∵an+bn=1,
∴bn+1=$\frac{b_n}{{1-{a_n}^2}}$=$\frac{{b}_{n}}{(1+{a}_{n})(1-{a}_{n})}$=$\frac{{b}_{n}}{(2-{b}_{n}){b}_{n}}$=$\frac{1}{2-{b}_{n}}$,
又∵a1=$\frac{1}{4}$,
∴b1=1-a1=1-$\frac{1}{4}$=$\frac{3}{4}$,
∴b2=$\frac{1}{2-{b}_{1}}$=$\frac{1}{2-\frac{3}{4}}$=$\frac{4}{5}$,
b3=$\frac{1}{2-{b}_{2}}$=$\frac{1}{2-\frac{4}{5}}$=$\frac{5}{6}$,
b4=$\frac{1}{2-{b}_{3}}$=$\frac{1}{2-\frac{5}{6}}$=$\frac{6}{7}$;
(2)证明:∵bn+1=$\frac{1}{2-{b}_{n}}$,
∴${b_{n+1}}-1=\frac{1}{{2-{b_n}}}-1$=$\frac{{b}_{n}-1}{2-{b}_{n}}$,
∴$\frac{1}{{{b_{n+1}}-1}}=\frac{{2-{b_n}}}{{{b_n}-1}}$=$-1+\frac{1}{{{b_n}-1}}$,
即$\frac{1}{{b}_{n+1}-1}$-$\frac{1}{{b}_{n}-1}$=-1,
又∵$\frac{1}{{b}_{1}-1}$=$\frac{1}{\frac{3}{4}-1}$=-4,
∴数列$\left\{{\frac{1}{{{b_n}-1}}}\right\}$是以-4为首项、-1为公差的等差数列,
∴$\frac{1}{{{b_n}-1}}=-4-(n-1)=-n-3$,
∴bn=1-$\frac{1}{n+3}$=$\frac{n+2}{n+3}$;
(3)证明:∵bn=$\frac{n+2}{n+3}$,
∴${a_n}=1-{b_n}=\frac{1}{n+3}$,
∴anan+1=$\frac{1}{(n+3)(n+4)}$=$\frac{1}{n+3}$-$\frac{1}{n+4}$,
∴${S_n}=\frac{1}{4×5}+\frac{1}{5×6}+\frac{1}{6×7}+…+\frac{1}{(n+3)(n+4)}$=$\frac{1}{4}-\frac{1}{n+4}$ $<\frac{1}{4}$.
点评 本题考查数列的通项及求和,考查运算求解能力,注意解题方法的积累,属于中档题.
A. | 0 | B. | 1 | C. | 1-2ln2 | D. | $\frac{-1+ln2}{2}$ |