题目内容
7.在直角坐标系xOy中,圆C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=cosφ}\\{y=a+sinφ}\end{array}\right.$(φ为参数),以O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线l的极坐标方程是ρcos(θ-$\frac{π}{6}$)=1.(1)求直线l的直角坐标方程;
(2)若直线l被圆C截得的弦长为$\sqrt{3}$,求实数a的值.
分析 (1)利用两角差的余弦展开,代入x=ρcosθ,y=ρsinθ求得答案;
(2)化圆的参数方程为普通方程,求出圆心到直线的距离,结合勾股定理求得实数a的值.
解答 解:(1)由ρcos(θ-$\frac{π}{6}$)=1,得$ρcosθcos\frac{π}{6}+ρsinθsin\frac{π}{6}=1$,
即$\frac{\sqrt{3}}{2}ρcosθ+\frac{1}{2}ρsinθ=1$,∴$\sqrt{3}x+y-2=0$;
(2)由$\left\{\begin{array}{l}{x=cosφ}\\{y=a+sinφ}\end{array}\right.$,得x2+(y-a)2=1.
圆心(0,a)到直线$\sqrt{3}x+y-2=0$的距离为$\frac{|a-2|}{2}$,
又直线l被圆C截得的弦长为$\sqrt{3}$,∴$\frac{(a-2)^{2}}{4}+(\frac{\sqrt{3}}{2})^{2}=1$,整理得:a=1或a=3.
点评 本题考查参数方程化普通方程,考查极坐标方程化直角坐标方程,考查了直线和圆的位置关系,是基础题.
练习册系列答案
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18.若正方体ABCD-A1B1C1D1中,化简下列各式的结果为$\overrightarrow{A{C}_{1}}$的是( )
A. | $\overrightarrow{A{A}_{1}}$+$\overrightarrow{{A}_{1}{B}_{1}}$+$\overrightarrow{{B}_{1}D}$ | B. | $\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{{B}_{1}{C}_{1}}$+$\overrightarrow{D{D}_{1}}$ | ||
C. | $\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{B{B}_{1}}$+$\overrightarrow{{B}_{1}{D}_{1}}$ | D. | $\overrightarrow{A{B}_{1}}$+$\overrightarrow{C{C}_{1}}$ |
17.如果θ=$\frac{kπ}{6}$(0≤k≤10,k∈Z),则sinθ+cosθ>0的概率为( )
A. | $\frac{5}{11}$ | B. | $\frac{6}{11}$ | C. | $\frac{1}{2}$ | D. | $\frac{2}{5}$ |