题目内容
【题目】农历五月初五是端午节，民间有吃粽子的习惯，粽子又称粽籺，俗称“粽子”，古称“角黍”，是端午节大家都会品尝的食品，传说这是为了纪念战国时期楚国大臣、爱国主义诗人屈原.如图，平行四边形形状的纸片是由六个边长为
的正三角形构成的，将它沿虚线折起来，可以得到如图所示粽子形状的六面体，则该六面体的体积为____；若该六面体内有一球，则该球表面积的最大值为____．
【答案】
【解析】
求出一个正四面体的体积乘以2，即为所求六面体的体积；取该六面体的一半记为正四面体
，取BC中点为D，连接SD，AD，作
平面ABC，垂足O在AD上，当六面体内的球体积最大时球心为O且该球与SD相切，过球心作
，则OE就是球半径，求出OE代入球体体积计算公式即可得解.
一个正三角形面积为
，该六面体是由六个边长为
的正三角形构成的，所以，该六面体看成由两个全等的正四面体组合而成，正四面体的棱长为
，如图，
在棱长为的正四面体中，取BC中点为D，连接SD，AD，作平面ABC，垂足O在AD上，则
，
，
，则该正四面体的体积为
，
该六面体的体积为两个正四面体的体积之和
，
当该六面体内有一球，如上图，且该球体积取最大值时，球心为O，且该球与SD相切，过球心作，则OE就是球半径，
因为
，所以球半径
，
所以该球体积的最大值为：
.
故答案为：答题空1：；答题空2：
；
【题目】为了提高生产效益，某企业引进了一批新的生产设备，为了解设备生产产品的质量情况，分别从新、旧设备所生产的产品中，各随机抽取100件产品进行质量检测，所有产品质量指标值均在（15，45]以内，规定质量指标值大于30的产品为优质品，质量指标值在（15，30]的产品为合格品.旧设备所生产的产品质量指标值如频率分布直方图所示，新设备所生产的产品质量指标值如频数分布表所示.
质量指标 | 频数 |
（15，20] | 2 |
（20，25] | 8 |
（25，30] | 20 |
（30，35] | 30 |
（35，40] | 25 |
（40，45] | 15 |
合计 | 100 |
（1）请分别估计新、旧设备所生产的产品的优质品率.
（2）优质品率是衡量一台设备性能高低的重要指标，优质品率越高说明设备的性能越高.根据已知图表数据填写下面列联表（单位：件），并判断是否有95%的把握认为“产品质量高与新设备有关”.
非优质品 | 优质品 | 合计 | |
新设备产品 | |||
旧设备产品 | |||
合计 |
附：
| 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 |
| 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 |
，其中
.
（3）用频率代替概率，从新设备所生产的产品中随机抽取3件产品，其中优质品数为X件，求X的分布列及数学期望.
