题目内容
【题目】选修4-4:坐标系与参数方程
在直角坐标系中,曲线
的参数方程为
(
为参数),将曲线
经过伸缩变换
后得到曲线
.在以原点为极点,
轴正半轴为极轴的极坐标系中,直线
的极坐标方程为
.
(1)说明曲线是哪一种曲线,并将曲线
的方程化为极坐标方程;
(2)已知点是曲线
上的任意一点,求点
到直线
的距离的最大值和最小值.
【答案】(1)为圆心在原点,半径为2的圆,
(2)
取到最小值为
最大值为
【解析】试题分析:(1)利用三角恒等式消元法消去参数可得曲线的普通方程,再利用放缩公式可得曲线
方程,从而可判定
是哪一种曲线,利用极坐标护互化公式可得
的方程化为极坐标方程;(2)利用
的参数方程设出点
的坐标,利用点到直线距离公式、辅助角公式及三角函数的有界性可得结果.
试题解析:(1)因为曲线的参数方程为
(
为参数),
因为,则曲线
的参数方程
.
所以的普通方程为
.
所以为圆心在原点,半径为2的圆.
所以的极坐标方程为
,即
.
(2)解法:直线的普通方程为
.
曲线上的点
到直线
的距离
.
当即
时,
取到最小值为
.
当即
时,
取到最大值为
.
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