Question

2．已知f（x）=x²+2-（alnx+bx）（a＞0）有两个零点x₁，x₂，且x₁，x₀，x₂成等差数列，探究f′（x₀）的符号．

Answer 1

分析 因为f（x）有两个零点x₁，x₂，把两个零点代入到f（x）中，得一式子，然后求出导函数讨论两个零点的大小得到f'（x₀）值的符号为正．

解答 解：因为f（x）=x²+2-（alnx+bx）有两个零点x₁，x₂，
则有$\left\{\begin{array}{l}{{{x}_{1}}^{2}+2-aln{x}_{1}-b{x}_{1}=0}\\{{{x}_{2}}^{2}+2-aln{x}_{2}-b{x}_{2}=0}\end{array}\right.$，
两式相减得x₂²-x₁²-a（lnx₂-lnx₁）-b（x₂-x₁）=0，即x₁+x₂-b=$\frac{a（ln{x}_{2}-ln{x}_{1}）}{{x}_{2}-{x}_{1}}$，
于是f′（x₀）=2x₀-$\frac{a}{{x}_{0}}$-b=（x₁+x₂-b）-$\frac{2a}{{x}_{1}+{x}_{2}}$=$\frac{a（ln{x}_{2}-ln{x}_{1}）}{{x}_{2}-{x}_{1}}$-$\frac{2a}{{x}_{1}+{x}_{2}}$=$\frac{a}{{x}_{2}-{x}_{1}}$[$ln\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$-$\frac{2（{x}_{2}-{x}_{1}）}{{x}_{1}+{x}_{2}}$]
=$\frac{a}{{x}_{2}-{x}_{1}}$[ln$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$-$\frac{2（\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}-1）}{1+\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}}$]
①当0＜x₁＜x₂时，令$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$=t，则t＞1，且u′（t）=$\frac{1}{t}$=$\frac{（1-t）^{2}}{t（1+t）^{2}}$＞0，则u（t）=lnt-$\frac{2（t-1）}{1+t}$在（1，+∞）上为增函数，
而u（1）=0，所以u（t）＞0，即lnt-$\frac{2（t-1）}{1+t}$＞0，又因为a＞0，x₂-x₁＞0
所以f′（x₀）＞0；
②当0＜x₂＜x₁时，同理可得：f′（x₀）＞0
综上所述：f′（x₀）的符号为正．

点评 考查学生利用导数研究函数极值的能力，利用导数求闭区间上函数极值的能力，属于中档题．