Question

选修4-1：几何证明选讲
如图所示，AB为⊙O的直径，BC、CD为⊙O的切线，B、D为切点
（1）求证：AD∥OC
（2）若⊙O的半径为1，求AD•OC的值．

Answer 1

分析：（1）如图，连接BD、OD，BD交OC于M．由切线的性质证出BD⊥OC，得∠ODM+∠DOC=90°，而AB为⊙O直径，得∠ADO+∠ODM=90°，可得∠ADO=∠DOC，从而得出AD∥OC；
（2）根据题意，利用相似三角形判定定理证出Rt△BAD∽Rt△COD，从而得出AD•OC=AB•OD=2×1=2．

解答：解：（1）如图，连接BD、OD，BD交OC于M．
∵CB、CD是⊙O的两条切线，
∴BD⊥OC，
∴∠ODM+∠DOC=90°
又∵AB为⊙O直径，得AD⊥DB，
∴∠ADO+∠ODM=90°，可得∠ADO=∠DOC，
∴AD∥OC
（2）∵AO=OD，∴∠ADO=∠A=∠DOC，
由此可得Rt△BAD∽Rt△COD，
∴

AB

CO

=

AD

OD

，得AD•OC=AB•OD=2×1=2，
即AD•OC的值为2．

点评：本题给出圆的两条切线和一条直径，求证直线平行并求线段的乘积．着重考查了圆的切线的性质、三角形相似的判定与性质等知识，属于中档题．