题目内容
已知函数f(x)＝lnx，g(x)＝
ax2＋bx(a≠0)，设函数f(x)的图象C1与函数g(x)的图象C2交于两点P、Q，过线段PQ的中点R作x轴垂线分别交C1、C2于点M、N，问是否存在点R，使C1在点M处的切线与C2在点N处的切线互相平行？若存在，求出点R的横坐标；若不存在，请说明理由．
不存在
【解析】设点P、Q的坐标分别为(x1，y1)、(x2，y2)，且0＜x2＜x1，则点M、N的横坐标均为
.
∴C1在点M处的切线斜率为k1＝
|x＝
＝
，
C2在点N处的切线斜率为k2＝ax＋b|x＝
＋b，
假设C1在点M处的切线与C2在点N处的切线互相平行，
则k1＝k2，即
＋b.
∵P、Q是曲线C1、C2的交点，∴
两式相减，得lnx1－lnx2＝
，
即lnx1－lnx2＝(x1－x2) 
，
∴lnx1－lnx2＝
，即ln
设u＝
＞1，则lnu＝
，u＞1(*)．
令r(u)＝lnu－，u＞1，则r′(u)＝
.
∵u＞1，∴r′(u)＞0，∴r(u)在(1，＋∞)上单调递增，
故r(u)＞r(1)＝0，则lnu＞，
这与上面(*)相矛盾，所以，故假设不成立．
故C1在点M处的切线与C2在点N处的切线不平行．
练习册系列答案
相关题目
