题目内容
【题目】已知函数.
(1)求函数的单调区间和零点;
(2)若恒成立,求
的取值范围.
【答案】(1)单调递减区间:;单调递增区间:
;零点为:
(2)
【解析】
(1)求导根据导函数正负得到单调区间;令,再结合单调性可知唯一零点为
;(2)将不等式转化为
图像恒在
上方,利用临界状态,即直线与
相切的情况,求得相切时
;从而可构造出
,利用导数求得
,由此可得取值范围.
(1)
令,解得:
所以函数在
上单调递减,在
上单调递增
单调递减区间为,单调递增区间为
令,解得:
所以函数的零点是
(2)画出的大致图像,如图所示
设,则
的图像恒过点
设函数的图像在点
处的切线过点
所以,
的图像在
处的切线方程为
将代入切线方程,得
整理得:
设
令,得
或
所以在
,
上单调递增,在
上单调递减
又,
,
所以是方程
的唯一解
所以过点且与
的图像相切的直线方程为
令,则
当时,
;当
时,
又,即
在
上恒成立
即函数的图像恒在其切线
的上方
数形结合可知,的取值范围
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