题目内容
【题目】如图, 平面
平面
,
是等边三角形,
是
的中点.
(1)证明: ;
(2)若直线与平面
所成角的余弦值为
,求二面角
的正弦值.
【答案】(1)证明见解析;(2).
【解析】试题分析:(1)由是等边三角形,
是
的中点,可得
,利用直线与平面垂直的判定定理得出直线与平面垂直,再利用直线与平面垂直的性质定理证明线线垂直;(2)以点
为坐标原点,
所在直线为
轴,
所在直线为
轴,过
且与直线
平的直线为
轴,建立空间直角坐标系,根据直线
与平面
所成的角的余弦值为
.可得
,不妨设
,利用向量垂直数量积为零,分别求出平面
与平面
的法向量,利用空间向量夹角余弦公式可得二面角
的余弦值,进而可得正弦值.
试题解析:(1)因为是等边三角形,
是
的中点,所以
,因为
平面
平面
,所以
,因为
,所以
平面
,因为
平面
,所以
.
(2)解法1: 以点为坐标原点,
所在直线为
轴,
所在直线为
轴,过
且与直线
平的直线为
轴,建立如图所示的空间直角坐标系
.
因为平面
,所以
为直线
与平面
所成的角.
由题意得,
,
即,从而
.不妨设
,又
,则
.
故.
于是,
设平面与平面
的法向量分别为
,
由令
,得
由令
,得
.
.
.故二面角
的正弦值为1.
(2)解法2: 平面
为直线
与平面
所成的角.
由题意得,
即,从而
.
不妨设,又
,则
,
.
由于平面
,
平面
,则
.
取的中点
,连接
,则
.
在中,
,
在中,
,
在中,
,
取的中点
,连接
,则
.
所以为二面角
的平面角.
在中,
,
在中,
,
在中,
,
.
故二面角的正弦值为1.
【方法点晴】本题主要考查线面垂直的判定与性质,以及利用空间向量求二面角,属于难题.空间向量解答立体几何问题的一般步骤是:(1)观察图形,建立恰当的空间直角坐标系;(2)写出相应点的坐标,求出相应直线的方向向量;(3)设出相应平面的法向量,利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量;(4)将空间位置关系转化为向量关系;(5)根据定理结论求出相应的角和距离.
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