Question

（本小题满分14分）  如图：在四棱锥P-ABCD中，底面为正方形，PC与底面ABCD垂直（图1），图2为该四棱锥的主视图和侧视图，它们是腰长为6cm的全等的等腰直角三角形.

D

图1

          

(1)根据图2所给的主视图、侧视图画出相应的俯视图，并求出该俯视图所在的平面图形的面积.

（2）图3中，L、E均为棱PB上的点，且，，M、N分别为棱PA 、PD的中点，问在底面正方形的对角线AC上是否存在一点F，使EF//平面LMN. 若存在，请具体求出CF的长度；若不存在，请说明理由.

 

Answer 1

（Ⅰ） 略   （Ⅱ）CF=cm

解析:

：（1）该四棱锥相应的俯视图为内含对角线、边长为6cm的正方形(如下图)----2分

其面积为：6×6=36(cm²)---4分

z

（注：图正确，面积计算体现了图形为正方形一样给分）

    (2)如图，以C为原点，CD为x轴，CB为y轴，CP为Z轴建立空间直角坐标系，则D（6，0，0），A（6，6，0），B（0，6，0），P（0，0，6），E（0，3，3），L（0，1，5），M（3，3，3），N（3，0，3）------6分

∴ ----7分

设平面LMN的法向量为=（x,y,z）

由   得令x=2 则=（2，0，3）----9分

设，---10分

则----11分

由，得，即=   ---12分

又EF 所以，EF//平面LMN----13分

即在底面正方形的对角线AC上存在符合题意的点F，CF=AC=cm----14分