题目内容

(2010•宿州三模)在△ABC中,三内角分别为A,B,C,且C=
π
3

(1)若cosB=
3
5
,求cos(2B+C);
(2)若
m
=(cosB,sinB),
n
=(1,
3
)
,求
m
n
的取值范围.
分析:(1)先利用同角基本关系式求出sinB,再结合二倍角公式求出cos2B,sin2B,最后代入两角和的余弦公式即可得到答案.
(2)先求出
m
n
的表达式,结合角B的范围以及余弦函数的范围即可求出结论.
解答:解:(1)由题意得,sinB=
1-cos2B
=
4
5
,…(2分)
cos2B=2cos2B-1=-
7
25
sin2B=2sinBcosB=
24
25
…(4分)
cos(2B+C)=cos2BcocC-sin2BsinC=-
7
25
1
2
-
24
25
3
2
=
-7-24
3
50
.   …(6分)
(2)
m
n
=cosB+
3
sinB=2cos(B-
π
3
)
…(8分)
B∈(0,
3
)

B-
π
3
∈(-
π
3
π
3
)

cos(B-
π
3
)∈(
1
2
,1]

m
n
∈(1,2]
.     …(12分)
点评:本题主要考查余弦函数的定义域和值域以及三角公式的应用.解决本题第二问的关键在于根据角B的范围,求出cos(B-
π
3
)的范围.
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