题目内容
(2010•宿州三模)在△ABC中,三内角分别为A,B,C,且C=
.
(1)若cosB=
,求cos(2B+C);
(2)若
=(cosB,sinB),
=(1,
),求
•
的取值范围.
π |
3 |
(1)若cosB=
3 |
5 |
(2)若
m |
n |
3 |
m |
n |
分析:(1)先利用同角基本关系式求出sinB,再结合二倍角公式求出cos2B,sin2B,最后代入两角和的余弦公式即可得到答案.
(2)先求出
•
的表达式,结合角B的范围以及余弦函数的范围即可求出结论.
(2)先求出
m |
n |
解答:解:(1)由题意得,sinB=
=
,…(2分)
∴cos2B=2cos2B-1=-
,sin2B=2sinBcosB=
…(4分)
∴cos(2B+C)=cos2BcocC-sin2BsinC=-
•
-
•
=
. …(6分)
(2)
•
=cosB+
sinB=2cos(B-
)…(8分)
∵B∈(0,
),
∴B-
∈(-
,
),
∴cos(B-
)∈(
,1]
∴
•
∈(1,2]. …(12分)
1-cos2B |
4 |
5 |
∴cos2B=2cos2B-1=-
7 |
25 |
24 |
25 |
∴cos(2B+C)=cos2BcocC-sin2BsinC=-
7 |
25 |
1 |
2 |
24 |
25 |
| ||
2 |
-7-24
| ||
50 |
(2)
m |
n |
3 |
π |
3 |
∵B∈(0,
2π |
3 |
∴B-
π |
3 |
π |
3 |
π |
3 |
∴cos(B-
π |
3 |
1 |
2 |
∴
m |
n |
点评:本题主要考查余弦函数的定义域和值域以及三角公式的应用.解决本题第二问的关键在于根据角B的范围,求出cos(B-
)的范围.
π |
3 |
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