题目内容
（2010•宿州三模）在△ABC中，三内角分别为A，B，C，且C=
．
（1）若cosB=
，求cos（2B+C）；
（2）若
=(cosB，sinB)，
=(1，
)，求
•
的取值范围．
| π |
| 3 |
（1）若cosB=
| 3 |
| 5 |
（2）若
| m |
| n |
| 3 |
| m |
| n |
分析：（1）先利用同角基本关系式求出sinB，再结合二倍角公式求出cos2B，sin2B，最后代入两角和的余弦公式即可得到答案．
（2）先求出
•
的表达式，结合角B的范围以及余弦函数的范围即可求出结论．
（2）先求出
| m |
| n |
解答：解：（1）由题意得，sinB=
=
，…（2分）
∴cos2B=2cos2B-1=-
，sin2B=2sinBcosB=
…（4分）
∴cos(2B+C)=cos2BcocC-sin2BsinC=-
•
-
•
=
． …（6分）
（2）
•
=cosB+
sinB=2cos(B-
)…（8分）
∵B∈(0，
)，
∴B-
∈(-
，
)，
∴cos(B-
)∈(
，1]
∴
•
∈(1，2]． …（12分）
| 1-cos2B |
| 4 |
| 5 |
∴cos2B=2cos2B-1=-
| 7 |
| 25 |
| 24 |
| 25 |
∴cos(2B+C)=cos2BcocC-sin2BsinC=-
| 7 |
| 25 |
| 1 |
| 2 |
| 24 |
| 25 |
| ||
| 2 |
-7-24
| ||
| 50 |
（2）
| m |
| n |
| 3 |
| π |
| 3 |
∵B∈(0，
| 2π |
| 3 |
∴B-
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
∴cos(B-
| π |
| 3 |
| 1 |
| 2 |
∴
| m |
| n |
点评：本题主要考查余弦函数的定义域和值域以及三角公式的应用．解决本题第二问的关键在于根据角B的范围，求出cos（B-
）的范围．
| π |
| 3 |
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