题目内容
【题目】如图所示,在长方形ABCD中,对角线AC与两邻边所成的角分别为α,β,则cos2α+cos2β=1,则在立体几何中,给出类比猜想并证明.
【答案】见解析
【解析】
本题考查的知识点是类比推理,由在长方形中,设一条对角线与其一顶点出发的两条边所成的角分别是α,β,则有cos2α+cos2β=1,我们根据平面性质可以类比推断出空间性质,我们易得答案.
在矩形ABCD中,对角线AC与两邻边所成的角分别为α,β,
则cos2α+cos2β=()2+(
)2=
=
=1.
于是类比到长方体中,
猜想:如图,体对角线BD'与共顶点的三条棱AB,BB',BC所成的角分别为α,β,γ,则cos2α+cos2β+cos2γ=1.
证明如下:
cos2α+cos2β+cos2γ
=()2+(
)2+(
)2
=
==1.
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