Question

已知点A(-

2

，0)，B(

2

，0)，P是平面内的一个动点，直线PA与PB交于点P，且它们的斜率之积是-

1

2

．
（Ⅰ）求动点P的轨迹C的方程，并求出曲线C的离心率的值；
（Ⅱ）设直线l：y=kx+1与曲线C交于M、N两点，当线段MN的中点在直线x+2y=0上时，求直线l的方程．

Answer 1

（Ⅰ）设点P（x，y），∴kPA=

y

x+ 2

，kPB=

y

x- 2

，
则由已知得：

y

x+ 2

•

y

x- 2

=-

1

2

，
整理得

x2

2

+y2=1(x≠±

2

)．
∴求得的曲线C的方程为

x2

2

+y2=1(x≠±

2

)．
a²=2，b²=1，∴c=

2-1

=1，
∴e=

c

a

=

1

2

=

2

2

；
（Ⅱ）设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），MN的中点（x₀，y₀），
得

x12+2y12=2 x22+2y22=2

，
①-②得，(

x

21

-

x

22

)+2(

y

21

-

y

22

)=0，
∴(x1+x2)+2(y1+y2)•(

y1-y2

x1-x2

)=0（x₁≠x₂），
又x₁+x₂=2x₀，y₁+y₂=2y₀
∴x₀+2y₀•k=0，
又∵x₀+2y₀=0，
以上两式联立解得直线l的斜率k=1．
∴直线l的方程为y=x+1．