题目内容
【题目】设△ABC的三内角A,B,C所对的边分别为a,b,c且b(cosA-3cosC)=(3c-a)cosB.
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)若cosB=,且△ABC的周长为14,求b的值.
【答案】(Ⅰ)(Ⅱ)6
【解析】
试题分析:(I)由b(cosA-3cosC)=(3c-a)cosB.利用正弦定理可得:.化简整理即可得出.(II)由
得c=3a.利用余弦定理及cosB=
即可得出
试题解析:(1)由正弦定理得,
(cosA-3cosC)sinB=(3sinC-sinA)cosB,
化简可得sin(A+B)=3sin(B+C). 5分
又A+B+C=π,
所以sinC=3sinA,因此=
. 6分
(2)由=
得c=3a,
由余弦定理及cosB=得
b2=a2+c2-2accosB=a2+9a2-6a2×=9a2. 10分
所以b=3a.又a+b+c=14,
从而a=2,因此b=6. 12分
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