Question

已知数列{a_n}满足a₁=a，a₂=2，S_n是数列的前n项和，且Sn=

n(an+3a1)

2

（n∈N*）．
（1）求实数a的值；
（2）求数列{a_n}的通项公式；
（3）对于数列{b_n}，若存在常数M，使b_n＜M（n∈N*），且

lim

n→∞

bn=M，则M叫做数列{b_n}的“上渐近值”．设tn=

Sn+2

Sn+1

+

Sn+1

Sn+2

-2（n∈N*），T_n为数列{t_n}的前n项和，求数列{T_n}的上渐近值．

Answer 1

分析：（1）由题设条件可知S1=

a1+3a1

2

，a1=2a1，即a1=0．由此能够解得a=0．
（2）由题意可知，Sn=

nan

2

，2Sn=nan(n∈N*)．所以2S_n-1=（n-1）a_n-1（n≥2）．由此可知数列{a_n}的通项公式a_n=2（n-1）（n∈N^*）．
（3）由题设条件知Sn=

nan

2

=n(n-1)(n∈N*)．由此可知T_n=t₁+t₂+…+t_n=3-

2

n+1

-

2

n+2

＜3(n∈N*)．从而求得数列{T_n}的上渐近值是3．

解答：解：（1）∵a1=a，a2=2，Sn=

n(an+3a1)

2

(n∈N*)，∴S1=

a1+3a1

2

，a1=2a1，即a1=0．（2分）∴a=0．（3分）
（2）由（1）可知，Sn=

nan

2

，2Sn=nan(n∈N*)．
∴2S_n-1=（n-1）a_n-1（n≥2）．
∴2（S_n-S_n-1）=na_n-（n-1）a_n-1，2a_n=na_n-（n-1）a_n-1，（n-2）a_n=（n-1）a_n-1．（5分）
∴

an

n-1

=

an-1

n-2

(n≥3，n∈N*)．（6分）
因此，

an

n-1

=

an-1

n-2

═

a2

1

，an=2(n-1)(n≥2)．（8分）
又a₁=0，∴数列{a_n}的通项公式a_n=2（n-1）（n∈N^*）．（10分）
（3）由（2）有，Sn=

nan

2

=n(n-1)(n∈N*)．于是，tn=

Sn+2

Sn+1

+

Sn+1

Sn+2

-2
=

(n+2)(n+1)

(n+1)n

+

(n+1)n

(n+2)(n+1)

-2
=

2

n

-

2

n+2

(n∈N*)．（12分）
∴T_n=t₁+t₂+…+t_n
=(

2

1

-

2

3

)+(

2

2

-

2

4

)+(

2

3

-

2

5

)++(

2

n

-

2

n+2

)
=3-

2

n+1

-

2

n+2

＜3(n∈N*)．（14分）
又

lim

n→∞

Tn=

lim

n→∞

(3-

2

n+1

-

2

n+2

)=3，
∴数列{T_n}的上渐近值是3．（16分）

点评：本题考查数列的综合运用，解题时要注意计算能力的培养．