Question

16．已知函数f（x）=x²+$\frac{1}{x}$
（1）求函数f（x）的定义域；
（2）判断f（x）的奇偶性，并说明理由；
（3）判断f（x）在[2，+∞）上的单调性．

Answer 1

分析 （1）利用分母不为0，可得函数f（x）的定义域；
（2）利用函数奇偶性的定义，判断f（x）的奇偶性；
（3）利用单调性的定义，判断f（x）在[2，+∞）上的单调性．

解答 解：（1）函数f（x）的定义域为{x|x≠0}；
（2）∵函数f（x）的定义域为{x|x≠0}关于原点对称，
∴f（-x）=x²-$\frac{1}{x}$≠f（x），
∴函数f（x）既不是奇函数也不是偶函数．
（3）任取x₁，x₂∈[2，+∞），且x₁＜x₂，
则f（x₁）-f（x₂）=（x₁²+$\frac{1}{{x}_{1}}$）-（x₂²+$\frac{1}{{x}_{2}}$）=（x₁+x₂）（x₁-x₂）+$\frac{{x}_{2}-{x}_{1}}{{x}_{1}{x}_{2}}$
=（x₁-x₂）（x₁+x₂-$\frac{1}{{x}_{1}{x}_{2}}$）．
由于x₁≥2，x₂≥2，且x₁＜x₂，
∴x₁-x₂＜0，x₁+x₂＞$\frac{1}{{x}_{1}{x}_{2}}$，
所以f（x₁）＜f（x₂），
故f（x）在[2，+∞）上是单调递增函数．

点评 本题考查函数的奇偶性、单调性，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．