题目内容

8.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且a2+a6=14,S5=25.
(1)求an及Sn
(2)数列{bn}中,令b1=1,bn=$\frac{4}{{{a}_{n}}^{2}-1}$ (n≥2,n∈N*),证明:数列{bn}的前n项和Tn<2.

分析 (1)设等差数列{an}的公差为d,由a2+a6=14,S5=25.利用等差数列的通项公式及其前n项和公式即可得出.
(2)bn=$\frac{4}{(2n-1)^{2}-1}$=$\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}$,(n≥2,n∈N*),利用“裂项求和”即可得出.

解答 (1)解:设等差数列{an}的公差为d,∵a2+a6=14,S5=25.
∴$\left\{\begin{array}{l}{2{a}_{1}+6d=14}\\{5{a}_{1}+\frac{5×4}{2}d=25}\end{array}\right.$,
解得$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}=1}\\{d=2}\end{array}\right.$,
∴an=2n-1,
Sn=$\frac{n(1+2n-1)}{2}$=n2
(2)证明:∵bn=$\frac{4}{{{a}_{n}}^{2}-1}$=$\frac{4}{(2n-1)^{2}-1}$=$\frac{1}{n(n-1)}$=$\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}$,(n≥2,n∈N*),
∴Tn=1+$[(1-\frac{1}{2})+(\frac{1}{2}-\frac{1}{3})$+…+$(\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n})]$
=1+1-$\frac{1}{n}$<2.

点评 本题考查了等差数列的通项公式及其前n项和公式、“裂项求和”,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.

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