解关于x的不等式:[x2-x+1](x2-2x+1)＜0．题目和参考答案——青夏教育精英家教网——

题目内容

1．解关于x的不等式：[x²-（a+

\frac{1}{a}

$\frac{1}{a}$ ）x+1]（x²-2x+1）＜0（a＞0）．

分析原不等式为（x-a）（x- $\frac{1}{a}$ ）（x-1）²＜0，分a=1和0＜a＜1以及a＞1讨论可得．

解答解：分解因式可得原不等式为（x-a）（x- $\frac{1}{a}$ ）（x-1）²＜0；
当a=1时，不等式可化为（x-1）⁴＜0，无解；
当0＜a＜1时，0＜a＜1＜ $\frac{1}{a}$ ，此时不等式的解集为{x|a＜x＜ $\frac{1}{a}$ 且x≠1}；
当a＞1时，0＜ $\frac{1}{a}$ ＜a＜1，此时不等式的解集为{x| $\frac{1}{a}$ ＜x＜a且x≠1}．

点评本题考查含参数不等式的解集，分类讨论是解决问题的关键，属中档题．

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20．求使下列函数取得最大值、最小值的自变量x的集合，并分别写出最大值和最小值：
（1）y=-3sinx，x∈R；
（2）y=2+cos

\frac{x}{2}

$\frac{x}{2}$ ，x∈R；
（3）y=-

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ sin（3x+

\frac{π}{4}

$\frac{π}{4}$ ），x∈R．

12．已知抛物线

x = \frac{1}{2} y^{2}

$x=\frac{1}{2}{y^2}$ 上一点P的横坐标为1，则点P到该抛物线的焦点F的距离为（　　）

\frac{9}{8}

$\frac{9}{8}$

\frac{3}{2}

$\frac{3}{2}$

\frac{5}{4}

$\frac{5}{4}$

如图所示的是y=f′（x）的图象，则下列判断正确的是（　　）
①f（x）在（-∞，1）上是增函数；
②x=-1是f（x）的极小值点；
③f（x）在（2，4）上是减函数，在（-1，2）上是增函数；
④x=2是f（x）的极小值点．

16．各项均为正数的{a_n}，{b_n}，a_n+1=

\frac{a_{n} + b_{n}}{\sqrt{{a_{n}}^{2} + {b_{n}}^{2}}}

$\frac{{a}_{n}+{b}_{n}}{\sqrt{{{a}_{n}}^{2}+{{b}_{n}}^{2}}}$ ，b_n+1=1+

\frac{b_{n}}{a_{n}}

$\frac{{b}_{n}}{{a}_{n}}$ ，求证：{

（ \frac{b_{n}}{a_{n}} ）^{2}

$（\frac{{b}_{n}}{{a}_{n}}）^{2}$ }成AP．

6．证明：f（x）=x³-ax-1图象不可能总在直线y=a的上方．

13．已知数列{a_n}为等比数列，b_n=log

_{\frac{1}{2}}

${\;}_{\frac{1}{2}}$ a_n，b₂+b₄=12，b₃+b₅=16．
（1）求{b_n}的通项公式；
（2）求{b_n}的前100项和．

10．已知c＞a＞b＞0，求证：

\frac{a}{c - a}

$\frac{a}{c-a}$ ＞

\frac{b}{c - b}

$\frac{b}{c-b}$ ．

11．设a∈R，函数f（x）=ax²+x-a（|x|≤1）．
（1）若|a|≤1，试证：|f（x）|≤

\frac{5}{4}

$\frac{5}{4}$ ；
（2）若函数f（x）的最大值为

\frac{17}{8}

$\frac{17}{8}$ ，求实数a的值．