Question

（2013•门头沟区一模）已知P（x，y）是中心在原点，焦距为10的双曲线上一点，且

y

x

的取值范围为（-

3

4

，

3

4

），则该双曲线方程是（　　）

• A．

  x2

  9

  -

  y2

  16

  =1
• B．

  y2

  9

  -

  x2

  16

  =1
• C．

  x2

  16

  -

  y2

  9

  =1
• D．

  y2

  16

  -

  x2

  9

  =1

Answer 1

分析：根据直线的斜率公式和双曲线的渐近线方程，结合题意得到

b

a

=

3

4

，再由平方关系得到a²+b²=25，联解可得a、b的值，即可得到该双曲线方程．

解答：解：∵双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞b＞0）的渐近线为y=±

b

a

x
∴动点P（x，y）与原点连线的斜率为k=

y

x

且k∈（-

b

a

，

b

a

）
∵由已知

y

x

的取值范围为（-

3

4

，

3

4

），∴

b

a

=

3

4

…①
又∵双曲线的焦距为2c=10，得c=5
∴a²+b²=c²=25…②
联解①②，可得a=4，b=3，所以双曲线方程为

x2

16

-

y2

9

=1
故选：C

点评：本题给出双曲线的焦距，在已知曲线上动点P与原点连线斜率范围的情况下求双曲线的方程，着重考查了双曲线的标准方程和简单几何性质等知识，属于基础题．