题目内容
【题目】设函数.
(1)求函数的单调区间和极值;
(2)若函数在区间上存在唯一零点,求a的取值范围.
【答案】(1)详见解析;(2).
【解析】
(1)分别在和两种情况下根据导函数的正负得到单调性,根据极值的定义可求得对应的极值;
(2)当时,分别在上存在唯一零点和为零点两种情况下,结合零点存在定理得到的范围;当时,结合函数的单调性,可知,通过讨论的位置确定对应端点值的符号,从而得到不等式组,解不等式组求得结果;综合两种情况可得最终结果.
(1)由题意得:.
①当时,恒成立,在上单调递增,此时无极值;
②当时,令,解得:,
当时,;当时,,
在上单调递减,在上单调递增,
在处取得极小值,极小值为,无极大值.
综上所述:当时,的单调递增区间为,无单调递减区间,无极值;
当时,的单调递减区间为,单调递增区间为,极小值为,无极大值.
(2)①当时,由(1)知,在上单调递增,
若在上存在唯一零点,则,即,
解得:.
若是在上的唯一零点,则,解得:(舍).
②当时,由(1)知,在上单调递减,在上单调递增,
.
,
若在上存在唯一零点,则或或,
解得:.
综上所述:的取值范围为.
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