Question

【题目】已知平面上的动点P（x，y）及两定点A（﹣2，0），B（2，0），直线PA，PB的斜率分别是 k1 ， k2且 ．
（1）求动点P的轨迹C的方程；
（2）设直线l：y=kx+m与曲线C交于不同的两点M，N． ①若OM⊥ON（O为坐标原点），证明点O到直线l的距离为定值，并求出这个定值
②若直线BM，BN的斜率都存在并满足 ，证明直线l过定点，并求出这个定点．

Answer 1

【答案】
（1）解：由题意得 ，（x≠±2），即x2+4y2=4（x≠±2）．

∴动点P的轨迹C的方程是

（2）解：设点M（x1，y1），N（x2，y2），联立 ，化为（1+4k2）x2+8kmx+4m2﹣4=0，

∴△=64k2m2﹣16（m2﹣1）（1+4k2）=16（1+4k2﹣m2）＞0．

∴ ， ．

∴y1y2=（kx1+m）（kx2+m）= ，

① 若OM⊥ON，则x1x2+y1y2=0，∴ ，

∴ ，化为 ，此时点O到直线l的距离d= ．

②∵kBMkBN=﹣ ，∴ ，

∴x1x2﹣2（x1+x2）+4+4y1y2=0，

∴ + ，

代入化为 ，化简得m（m+2k）=0，解得m=0或m=﹣2k．

当m=0时，直线l恒过原点；

当m=﹣2k时，直线l恒过点（2，0），此时直线l与曲线C最多有一个公共点，不符合题意，

综上可知：直线l恒过定点（0，0）

【解析】（1）利用斜率计算公式即可得出；（2）把直线l的方程与椭圆方程联立得到根与系数的关系，①利用OM⊥ONx1x2+y1y2=0即可得到k与m的关系，再利用点到直线的距离公式即可证明； ②利用斜率计算公式和根与系数的关系即可得出k与m的关系，进而证明结论．