Question

13．已知四边形ABCD是空间四边形，E、H分别是AB、AD的中点，F、G分别是边CB、CD上的点，且$\overrightarrow{CF}$=$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{CB}$，$\overrightarrow{CG}$=$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{CD}$，求证：四边形EFGH是梯形．

Answer 1

分析 由已知EH为三角形ABD的中位线，从而EH∥BD且EH=$\frac{1}{2}$BD，由$\overrightarrow{CF}$=$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{CB}$，$\overrightarrow{CG}$=$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{CD}$，得△CFG∽△ABD，由此能证明四边形EFGH是梯形．

解答 证明：∵四边形ABCD是空间四边形，E、H分别是AB、AD的中点，
∴EH为三角形ABD的中位线
∴EH∥BD且EH=$\frac{1}{2}$BD
又∵$\overrightarrow{CF}$=$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{CB}$，$\overrightarrow{CG}$=$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{CD}$，∴$\frac{CF}{CB}=\frac{CG}{CD}$=$\frac{2}{3}$，
∴△CFG∽△ABD，且FG∥BD，FG=$\frac{2}{3}$BD
∴在四边形EFGH中，EH∥FG
即E，F，G，H四点共面，且EH≠FG，
∴四边形EFGH是梯形．

点评 本题考查的知识点是平行线分线段成比例定理，是基础题，根据已知条件，判断出EH∥FG且EH≠FG，是解答本题的关键．