Question

如图，已知四棱锥P-ABCD中，侧棱PA⊥平面ABCD，底面ABCD是平行四边形，PB=PC，AB=1，BC=

2

，E，F分别是BC，PC的中点．
（1）求证：AC⊥平面PAB；
（2）当平面PDC与底面ABCD所成二面角为

π

3

时，求二面角F-AE-C的大小．

Answer 1

分析：（1）证明AC⊥平面PAB，根据线面线面垂直的判定定理，即证明AC⊥AB，PA⊥AC，
（2）解法1：确定∠PCA是平面PDC与底面ABCD所成二面角，故∠PCA=

π

3

，分别取AC中点N和AE中点M，连接FN，FM和MN，可证∠FMN为二面角F-AE-C的平面角，在Rt△FMN中，即可求二面角F-AE-C的大小；
解法2：建立空间直角坐标系，用坐标表示点与向量，求出平面PCD的一个法向量与平面ABCD的一个法向量，利用平面PDC与底面ABCD所成二面角为

π

3

，确定PA的长，求出平面FAE的一个法向量，利用

AP

是平面AEC的一个法向量，即可求得二面角F-AE-C的大小．

解答：（1）证明：∵PA⊥平面ABCD，∴PB的射影是AB，PC的射影是AC，
∵PB=PC，∴AB=AC，∴AB=AC=1，且BC=

2

，
∴△ABC是直角三角形，且∠BAC=

π

2

，…（3分）
∴AC⊥AB，
∵PA⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，∴PA⊥AC，
∵PA∩AB=A，∴AC⊥平面PAB…（6分）
（2）解法1：由（1）知AC⊥AB，且ABCD是平行四边形，可知AC⊥CD，
又∵PA⊥平面ABCD，由三垂线定理可知，PC⊥CD，
又∵PC∩AC=C由二面角的平面角的定义可知，∠PCA是平面PDC与底面ABCD所成二面角，故∠PCA=

π

3

，
故在Rt△PAC中，AC=1，∴PA=

3

，PC=2，
从而AF=

1

2

PC=1，EF=

1

2

PB=

1

2

PC=1，
又在Rt△ABC中，AE=

1

2

BC=

2

2

，∴在等腰三角形△FAE，
分别取AC中点N和AE中点M，连接FN，FM和MN，
∴中位线FN∥PA，且PA⊥平面ABCD，∴FN⊥平面ABCD，
在△AEF中，中线FM⊥AE，由三垂线定理知，MN⊥AE，∠FMN为二面角F-AE-C的平面角，
在Rt△FMN中，FN=

1

2

PA=

3

2

，MN=

1

2

EC=

2

4

，tan∠FMN=

FN

MN

=

6

，∠FMN=arctan

6

，
∴二面角F-AE-C的大小为arctan

6

．
解法2：由（Ⅰ）知，以点A为坐标原点，以AB、AC、AP所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．设PA=λ，则A（0，0，0），B（1，0，0），C（0，1，0），P（0，0，λ），D（-1，1，0），E(

1

2

，

1

2

，0)，F(0，

1

2

，

λ

2

)，则

CP

=(0，-1，λ)，

CD

=(-1，0，0)，

AP

=(0，0，λ)
设平面PCD的一个法向量为

n1

=(x1，y1，z1)，
则由

n1 • . CD =0 n1 • . CP =0

得

x1=0 y1=λz1

，取

n1

=(0，λ，1)
又

AP

是平面ABCD的一个法向量，
平面PDC与底面ABCD所成二面角为

π

3

cos＜

AP

，

n1

＞=

AP • n1

| AP || n1 |

=

λ

λ λ2+1

=cos

π

3

，
解得λ=

3

，
设平面FAE的一个法向量为

n2

=(x2，y2，z2)，
则由

n2 • AE =0 n2 • CP =0

得

x2=-y2 y2=λz2

，取

n2

=(-

3

，

3

，1)．
又

AP

是平面AEC的一个法向量，
设二面角F-AE-C的平面角为θ，则cos＜

AP

•

n2

＞=

AP • n2

| AP || n2 |

=

3

3 • 7

=

7

7

，
∴cosθ=

7

7

∴θ=arccos

7

7

∴二面角F-AE-C的大小为arccos

7

7

．…（12分）

点评：本题考查线面垂直、面面角，解题的关键是利用线面垂直的判定定理，掌握面面角的求法，传统方法与向量方法一起运用，注意细细体会．