题目内容
【题目】在平面直角坐标系中,已知椭圆
的离心率为
,且过点
.
(1)求的方程;
(2)若动点在直线
上,过
作直线交椭圆
于
两点,使得
,再过
作直线
,证明:直线
恒过定点,并求出该定点的坐标.
【答案】(1)(2)
【解析】试题分析:
(1)由题意得,根据离心率为
可得
,故可得到C的方程。(2)由
为线段
的中点。设
,当
时,由“点差法”可得直线
的斜率为
,从而直线
的方程可求得为
,过定点;当
时,
过点
。故可得直线
过点
。
试题解析:
(1)由题意知,
又椭圆的离心率为,所以
,
所以,
所以椭圆的方程为
.
(2)因为直线的方程为
,设
,
①当时,设
,显然
,
由可得
,即
,
又,所以
为线段
的中点,
故直线的斜率为
,
又,
所以直线的方程为
即,显然
恒过定点
,
②当时,
过点
,
综上可得直线过定点
.
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