题目内容
【题目】 (本小题满分12分)
如图, 在四面体ABOC中, , 且
.
(Ⅰ)设为为
的中点, 证明: 在
上存在一点
,使
,并计算
;
(Ⅱ)求二面角的平面角的余弦值。
【答案】解法一:
(Ⅰ)在平面内作
交
于
,连接
。
又,
,
。
取为
的中点,则
。
在等腰
中,
,
在中,
,
在中,
,
.
(Ⅱ)连接 ,由
,
知:
.
又,
又由,
.
是
在平面
内的射影.
在等腰中,
为
的中点,
根据三垂线定理,知: ,
为二面角
的平面角.
在等腰中,
,
在中,
,
中,
.
解法二:(Ⅰ) 取为坐标原点,分别以
,
所在的直线为
轴,
轴,建立空间直角坐标系
(如图),则
,
为
中点,
.
设
.
即
,
。
所以存在点 使得
且
.
(Ⅱ)记平面的法向量为
,则由
,
,
且,得
, 故可取
又平面的法向量为
.
.
二面角的平面角是锐角,记为
,则
.
【解析】略
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