Question

【题目】在平面直角坐标系xoy中，曲线C1的参数方程为 （α为参数），曲线C2的参数方程为 （β为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．
（1）求曲线C1和曲线C2的极坐标方程；
（2）已知射线l1：θ=α（ ＜α＜ ），将射线l1顺时针方向旋转 得到l2：θ=α﹣ ，且射线l1与曲线C1交于两点，射线l2与曲线C2交于O，Q两点，求|OP||OQ|的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵曲线C1的参数方程为 （α为参数），

∴曲线C1的直角坐标方程为（x﹣1）2+y2=1，

即x2+y2﹣2x=0，

∴曲线C1的极坐标方程为ρ2﹣2ρcosθ=0，即ρ=2cosθ．

∵曲线C2的参数方程为 （β为参数），

∴曲线C2的普通方程x2+（y﹣1）2=1，即x2+y2﹣2y=0，

∴曲线C2的极坐标方程为ρ2﹣2ρsinθ=0，即ρ=2sinθ．

（2）解：设点P的极坐标为P（ρ1，α），即ρ1=2cosα，

设点Q的坐标为Q（ ），即 ，

∴|OP||OQ|=ρ1ρ2=2cos =4cosα（ sin ）

=2 sinαcosα﹣2cos2α= ﹣cos2α﹣1=2sin（2 ）﹣1，

∵α∈（ ），∴ ∈（ ），

当2 = ，即 时，|OP||OQ|取最大值1．

【解析】（1）由曲线C1的参数方程能求出曲线C1的直角坐标方程，从而能求出曲线C1的极坐标方程．由曲线C2的参数方程能求出曲线C2的直角坐标方程，从而能求出曲线C2的极坐标方程．（2）设点P的极坐标为P（ρ1 ， α），即ρ1=2cosα，设点Q的坐标为Q（ ），即 ，mh|OP||OQ|=ρ1ρ2=2cos =2sin（2 ）﹣1，能求出|OP||OQ|的最大值．