题目内容
18．若在△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足acosB=bcosC=ccosA，求证：△ABC为正三角形．分析 根据正弦定理化简acosB=bcosC=ccosA，假设A≥B和B≥C代入式子利用正弦定理和余弦函数的性质化简，即可得到三个角相等，即可证明△ABC为正三角形．
解答 证明：由题意得，acosB=bcosC=ccosA，
根据正弦定理得，sinAcosB-sinBcosC=0，且sinBcosC-sinCcosA=0，
则sinAcosB=sinBcosC，且sinBcosC=sinCcosA，
若A≥B，则sinA≥sinB，即cosB≤cosC，得B≥C，则A≥C
同理若B≥C，则sinB≥sinC，即cosC≤cosA，得C≥A，
所以$\left\{\begin{array}{l}{A≥C}\\{C≥A}\end{array}\right.$，得A=C，
当A=C时，代入sinBcosC=sinCcosA，得sinB=sinC，则B=C，
若假设相反，同样能得上述结论，
所以△ABC为正三角形．
点评 本题考查了正弦定理的灵活应用，以及余弦函数的性质，属于中档题．
练习册系列答案
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如图，已知椭圆C$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$，点B坐标为（0，-1），过点B的直线与椭圆C的另外一个交点为A，且线段AB的中点E在直线y=x上．
9．下列各对函数中，相同的是（ ）
| A． | f（x）=x，g（x）=（x${\;}^{\frac{1}{2}}$）2 | B． | f（x）=$\sqrt{1-{x}^{2}}$，g（x）=1-|x|，x∈[-1，1] | ||
| C． | y=f（x），g（x）=f（x+1），x∈R | D． | f（x）=|lg0.5x|，g（x）=|x|lg2 |