题目内容
7.设函数f(x)=xlnx.(1)求函数f(x)在点M(e,f(e))处的切线方程;
(2)设F(x)=ax2-(a+2)x+f′(x)(a>0),讨论函数F(x)的单调性.
分析 (1)求出导数,求得切线的斜率和切点,由点斜式方程,即可得到所求切线的方程;
(2)求出函数的导数,并分解因式,讨论a=2,a>2,0<a<2时,导数的符号,进而确定单调性.
解答 解:(1)f(x)=xlnx的导数为f′(x)=1+lnx,
f(x)在点M(e,f(e))处的切线斜率为1+1=2,
切点为(e,e),则切线的方程为y-e=2(x-e),
即为2x-y-e=0;
(2)F(x)=ax2-(a+2)x+f′(x)=ax2-(a+2)x+1+lnx,
F′(x)=2ax-a-2+$\frac{1}{x}$=$\frac{2a{x}^{2}-(a+2)x+1}{x}$=$\frac{(2x-1)(ax-1)}{x}$,
当a=2时,F′(x)≥0恒成立,函数递增;
当a>2时,$\frac{1}{2}$>$\frac{1}{a}$,由F′(x)>0可得x>$\frac{1}{2}$或0<x<$\frac{1}{a}$,由F′(x)<0可得$\frac{1}{a}$<x<$\frac{1}{2}$.
可得f(x)在($\frac{1}{a}$,$\frac{1}{2}$)递减,在(0,$\frac{1}{a}$),($\frac{1}{2}$,+∞)递增;
当0<a<2时,$\frac{1}{2}$<$\frac{1}{a}$,由F′(x)>0可得x>$\frac{1}{a}$或0<x<$\frac{1}{2}$,由F′(x)<0可得$\frac{1}{2}$<x<$\frac{1}{a}$.
可得f(x)在($\frac{1}{2}$,$\frac{1}{a}$)递减,在(0,$\frac{1}{2}$),($\frac{1}{a}$,+∞)递增.
点评 本题考查导数的运用:求切线的方程和单调区间,正确求导和分类讨论是解题的关键,考查运算求解能力,属于中档题.
A. | $\root{4}{{m}^{2}}$ | B. | $\root{5}{m}$ | C. | $\root{6}{m}$ | D. | $\root{5}{-m}$ |
A. | l∥α | B. | α∥γ | C. | m∥β且m∥γ | D. | m∥β或m∥γ |