题目内容

8．证明f（x）=x+$\frac{2}{x}$在（$\sqrt{2}$，+∞）上为增函数．

分析 任取x1，x2∈[$\sqrt{2}$，+∞），且x1＜x2，通过作差比较f（x1）与f（x2）的大小，根据增函数的定义，只需说明f（x1）＜f（x2）即可

解答 解：证明：任取x1，x2∈[$\sqrt{2}$，+∞），且x1＜x2，
则f（x1）-f（x2）（x1$+\frac{2}{{x}_{1}}$）-（x2$+\frac{2}{{x}_{2}}$）=$\frac{（{x}_{1}-{x}_{2}）（{x}_{1}{x}_{2}-2）}{{x}_{1}{x}_{2}}$，
因为$\sqrt{2}$≤x1＜x2，所以x1-x2＜0，x1x2＞2，
所以f（x1）-f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），
所以f（x）=x+$\frac{2}{x}$在[$\sqrt{2}$，+∞）上为增函数．

点评 本题考查函数单调性的证明，属基础题，单调性的证明方法主要有：定义法；导数法，要熟练掌握．

练习册系列答案
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18．若不等式2sinx+1≥ax+cos2x对任意x∈[-$\frac{1}{2}，\frac{3}{2}$]恒成立，则实数a的值为（　　）
A．3B．2C．1D．0
19．已知函数f（x）=x2-2alnx，a＞0．
（1）求函数f（x）的单调区间和极值；
（2）若函数f（x）在区间（e，e2]上既有最大值又有最小值，求实数a的取值范围．
16．设函数f（x）=x2+bln（x+1），其中b≠0．
（Ⅰ）当b=$\frac{1}{2}$时，判断函数f（x）在定义域上的单调性；
（Ⅱ）当b＜$\frac{1}{2}$时，求函数f（x）的极值点
（Ⅲ）证明对任意的正整数n，不等式$ln（\frac{1}{n}+1）＞\frac{1}{n^2}-\frac{1}{n^3}$都成立．
3．设变量x，y满足约束条件$\left\{\begin{array}{l}{y≤0}\\{x-y+1≥0}\\{x+y-3≤0}\end{array}\right.$，则z=$\frac{x}{2}$+y的最大值为（　　）
A．-$\frac{1}{2}$B．$\frac{5}{2}$C．$\frac{3}{2}$D．3
13．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且$2{cos^2}\frac{A-B}{2}cosB-sin（A-B）sinB+cos（A+C）=-\frac{1}{2}$
（Ⅰ）求A；
（Ⅱ）D为边BC上一点，BD=3DC，∠DAB=$\frac{π}{2}$，求tanC．
20．以下是某个几何体的三视图（单位：cm），则该几何体的体积是（　　）
A．2cm3B．3cm3C．4cm3D．5cm3
17．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{x+1}{x-1}，x≤0}\\{f（x-1），x＞0}\end{array}\right.$，则函数g（x）=f（x）-ex+a的零点个数不可能是（　　）
A．0B．1C．2D．3
18．已知椭圆 C1：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的两个焦点F1，F2，动点P在椭圆上，且使得∠F1PF2=90°的点P恰有两个，动点P到焦点F1的距离的最大值为2+$\sqrt{2}$．
（Ⅰ）求椭圆C1的方程；
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