Question

如图，在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，各棱长都等于a，D、E分别是AC₁、BB₁的中点，
（1）求证：DE是异面直线AC₁与BB₁的公垂线段，并求其长度；
（2）求二面角E-AC₁-C的大小；
（3）求点C₁到平面AEC的距离．

Answer 1

分析：（1）证明DE⊥AC₁，ED⊥BB₁，即可得到DE为AC₁和BB₁的公垂线，
（2）利用DE⊥平面AC₁，可得平面AEC₁⊥平面AC₁，从而可求二面角E-AC₁-C的平面角；
（3）用体积法，根据VA-CEC1=VC1-AEC，可求点C₁到平面AEC的距离．

解答：（1）证明：过D在面AC₁内作FG∥A₁C₁分别交AA₁、CC₁于F、G，
则面EFG∥面ABC∥面A₁B₁C₁，
∴△EFG为正三角形，D为FG的中点，ED⊥FG．
连AE，C₁E
∵D、E分别为AC₁、BB₁的中点，
∴AE=EC₁，DE⊥AC₁．
又∵面EFG⊥BB₁，
∴ED⊥BB₁，故DE为AC₁和BB₁的公垂线，
∵EC1=

5

2

a，DC1=

2

2

a，∴DE=

3

2

a．
（2）由（1）可得DE⊥平面AC₁，∴平面AEC₁⊥平面AC₁，∴二面角E-AC₁-C为90°．
（3）设点C₁到平面ACE的距离为h
在△AEC中，AE=CE=

5

2

a，AC=a，∴S△AEC=

1

2

×a×a=

1

2

a2
∵VA-CEC1=

1

3

×

1

2

×a×a×

3

2

a，VA-CEC1=VC1-AEC
∴

1

3

×

1

2

×a×a×

3

2

a=

1

3

×

1

2

×a2h
∴h=

3

2

a
∴点C₁到平面ACE的距离为

3

2

a．

点评：本题综合考查线面、线线、面面垂直，考查体积法求点到面的距离，熟练运用线面垂直的判定定理是解题的关键．