题目内容
【题目】已知双曲线C:x2-y2=1及直线l:y=kx+1.
(1)若l与C有两个不同的交点,求实数k的取值范围;
(2)若l与C交于A,B两点,且线段AB中点的横坐标为
,求线段AB的长.
【答案】（1）
；（2）6
【解析】
（1）联立直线与双曲线方程，利用方程组与两个交点，求出k的范围．
（2）设交点A（x1，y1），B（x2，y2），利用韦达定理以及弦长公式求解即可．
(1)若双曲线C与直线l有两个不同的交点,则方程组
有两个不同的实数根,整理得(1-k2)x2-2kx-2=0,∴
解得-
<k<且k≠±1.故双曲线C与直线l有两个不同的交点时,k的取值范围是(-,-1)∪(-1,1)∪(1,).
(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),由(1)得x1+x2=
=2,即k2+k-=0,解得k=
或k=-.
∵-<k<且k≠±1,
∴k=,∴x1x2=
=-4,∴|AB|=
·
=6.
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