题目内容

已知椭圆的离心率为,且经过点,圆的直径为的长轴.如图,是椭圆短轴端点,动直线过点且与圆交于两点,垂直于交椭圆于点.

(1)求椭圆的方程;
(2)求 面积的最大值,并求此时直线的方程.

(1) (2)

解析试题分析:(1)已知椭圆的离心率为即可得到的关系式,再结合椭圆过点,代入椭圆方程组成方程组可求解得到椭圆方程; (2) 要求面积可先求两个弦长度,是一直线与圆相交得到的弦长,可采用圆的弦长公式,而是椭圆的弦长,使用公式求解,把面积表示成变量的函数, 求其最值时可用换元法求解.对当斜率为0时要单独讨论.
试题解析:(1)由已知得到,所以,即.
又椭圆经过点,故,
解得,
所以椭圆的方程是
(2)因为直线且都过点
①当斜率存在且不为0时,设直线,直线,即,
所以圆心到直线的距离为,所以直线被圆所截弦
得,
所以
.
所以.
,则,

,即时,等号成立,
面积的最大值为,此时直线的方程为
②当斜率为0时,即,此时
的斜率不存在时,不合题意;
综上, 面积的最大值为,此时直线的方程为.
考点:直线与圆的位置关系,弦长公式,换元法求函数最值.

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