题目内容

【题目】已知函数为定义域R上的奇函数,且在R上是单调递增函数,函数,数列为等差数列,且公差不为0,若,则( )

A. 45B. 15C. 10D. 0

【答案】A

【解析】

根据题意,由奇函数的性质可得(-x)+f(x)=0,又由g(x)=f(x-5)+xg(a1)+g(a2)+…+g(a9)=45,可得f(a1-5)+f(a2-5)+…+f(a9-5)+(a1+a2+…+a9)=45,结合等差数列的性质可得f(a1-5)=-f(a9-5)=f(5-a9),进而可得a1-5=5-a9,即a1+a9=10,进而计算可得答案.

根据题意,函数y=f(x)为定义域R上的奇函数,
则有f(-x)+f(x)=0,
∵g(x)=f(x-5)+x,
∴若g(a1)+g(a2)+…+g(a9)=45,
f(a1-5)+a1+f(a2-5)+a2+…+f(a9-5)+a9=45,
f(a1-5)+f(a2-5)+…+f(a9-5)+(a1+a2+…+a9)=45,
f(a1-5)+f(a2-5)+…+f(a9-5)=0,
又由y=f(x)为定义域R上的奇函数,
f(a1-5)+f(a9-5)=0,
f(a1-5)=-f(a9-5)=f(5-a9),
∵f(x)在R上是单调函数,
∴a1-5=5-a9
a1+a9=10,
在等差数列中,a1+a9=10=2a5
a5=5,
a1+a2+…+a9=9a5=45;
故选:A.

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